浏览小学阶段的课外数学内容，经常看到涉及判断自然数被 等整除的题目。
课外学习资料里会提到判断整除的法则。例如：
判断一个自然数是否被 整除，就是看这个自然数的所有位置的数字之和是否被 整除。
但是通常不会详细解释得到法则背后的原理。
本文利用同余运算推导出十进制自然数除以 的余数计算法则。具体来说，对于正整数
(增加d=7)我们给出通过十进制自然数的数字来简便计算这个数除以 所得余数的法则。
本文适合小学高年级学生及一般读者阅读。
(一) 余数的定义
能够定义余数是因为有“带余数的除法”。
带余数的除法：任意给定整数 和正整数 存在唯一的整数 和唯一的整数 这里要求
使得如下等式成立：
实际上，整数 是使得不等式
成立的最大整数，从而有
关于带余数的除法，小学课本的算式是
称 是 被 除的不完全商。
称 是 被 除的余数。
注： 被 整除，恰好是余数为 的情形。
注：按照定义，任何整数除以 的余数为
例：整数 被 除，余数为 这是因为
同余记号：如果两个整数 除以正整数 所得的余数相等，记作
这称为同余等式，读作 “模等于”
练习：证明同余等式 恰好表示 与 的差是 的倍数。
例：利用同余记号来表示前面的例子，有
在计算除以固定的正整数的余数时，可以利用同余运算的法则来减小实际的运算量。
同余运算的法则：为了计算整数的加法、减法、乘法运算的结果除以正整数 的余数，可以把涉及的整数替换成模 同余的整数，再继续计算。
使用同余记号，根据同余运算的法则可以非常有效地计算余数。
(二) 除以 的余数
自然数减去个位数字，差的个位数字为 因此这个差是 的倍数。
这说明自然数除以 的余数等于个位数字除以 的余数。
命题10任何十进制自然数除以 的余数恰好是个位数字。
例：计算 除以 的余数，得到
命题5 任何十进制自然数除以 的余数等于个位数字除以 的余数。
例：计算 除以 的余数，得到
命题2任何十进制自然数除以 的余数，等于个位数字除以 的余数。
例：计算 除以 的余数，得到
按照被 除的余数，自然数分成偶数与奇数两类。
一个自然数称为偶数，如果被 除的余数为
一个自然数称为奇数，如果被 除的余数为
利用个位数字可以判断自然数的奇偶性。
如果个位数字是 这个数是偶数。
如果个位数字是 这个数是奇数。
练习：自然数被 除的余数是什么？
(三) 除以 的余数
先考虑自然数除以 的余数。
自然数减去末二位数，差的末二位数字为 因此这个差是 的倍数，也是 的倍数。
这说明自然数除以 的余数等于这个自然数的末二位数除以 的余数。
命题4任何十进制自然数除以 的余数等于末二位数除以 的余数。
例：计算 除以 的余数，得到
练习：怎样计算十进制自然数被 除的余数？
现在考虑自然数除以 的余数。
自然数减去末三位数，差的末三位数字为 因此这个差是 的倍数，也是 的倍数。
这说明自然数除以 的余数等于这个自然数的末三位数除以 的余数。
命题8任何十进制自然数除以 的余数等于末三位数除以 的余数。
例：计算 除以 的余数，得到
练习：怎样计算自然数被 除的余数？
(四) 用 的幂的组合表示自然数
为了讨论自然数除以 的余数，我们需要了解以 为底数的幂。
对于自然数 我们将 个 的乘积，记作 读作 “ 的 次幂”。因此有
另外，规定
这样，就可以把自然数表示为每个位置的数字与相应的 的幂的乘积之和。例如：
实际上，自然数加法、乘法的竖式运算的法则都可以利用这样的表达式来解释。
(五) 除以 的余数
首先考虑十进制自然数除以 的余数。
因为 除以 的余数等于 所以 的任意次幂除以 的余数都等于
利用同余运算的法则来计算除以 的余数，可知自然数模 等于所有位置的数字之和。
命题3任何十进制自然数除以 的余数，等于这个自然数的各位置数字之和除以 的余数。
例：计算 除以 的余数，得到
现在考虑十进制自然数除以 的余数。
因为 除以 的余数等于 所以 的任意次幂除以 的余数都等于
利用同余运算的法则来计算除以 的余数，可知自然数模 等于所有位置的数字之和。
命题9任何十进制自然数除以 的余数，等于这个自然数的各位置数字之和除以 的余数。
例：计算 除以 的余数，得到
练习：判断 是不是 的倍数。
(五) 除以 的余数
需要弄清楚 的各次幂除以 的余数。
因为 模 等于 容易得到如下规律：
的偶数次幂模等于
的奇数次幂模等于
利用同余运算的原理，立即得到如下命题。
命题11任何十进制自然数除以 的余数，等于这个自然数的对应于 的偶数次幂的所有位置的数字之和与对应于 的奇数次幂的所有位置的数字之和的差除以 的余数。
例：计算 除以 的余数，得到
练习：判断 是不是 的倍数。
(六) 除以 的余数
本节证明：自然数除以 的余数可以由除以 的余数计算出来，除以 的余数可以由除以 的余数计算出来。
首先，我们有如下计算除以 的余数的方法。
命题6任何整数 除以 的余数，等于 除以 的余数的三倍与 除以 的余数的二倍的差，再除以 的余数。
证明：设整数 除以 的余数分别为 即
以上两式分别乘以 和 得到
这两个同模的同余等式相减，得到
这就证明了命题6
例：计算 除以 的余数。已经知道
由命题6得到
完全类似地，有如下计算除以 的余数的方法。
命题12任何整数 除以 的余数，等于 除以 的余数的四倍与 除以 的余数的三倍的差，再除以 所得的余数。
证明：设整数 除以 的余数分别为 即
以上两式分别乘以 和 得到
这两个同模的同余等式相减，得到
这就证明了命题12
例：计算 除以 的余数。已经知道
由命题12得到
(七) 除以 的余数
根据因数分解式 可知
命题7把十进制自然数从右向左每三位分一组，得到若干个三位数(数字允许为零)，再把这些三位数从右向左交错地配以正号、负号，得到加减法算式，最后把算式的结果除以 就得到原自然数除以 的余数。
例：计算 分别除以 的余数，得到
练习：怎样简便地计算自然数除以 的余数？
(八) 结束语
本文介绍了利用十进制自然数的各位置数字来简便计算这个数除以 等的余数的原理。
弄懂这些原理，就可以解决简单的整除问题了。
有兴趣的读者可以试试下面这道小学课外题：
已知 整除八位数 求数字
一朝闻原理，做得课外题，不亦乐乎？
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来源：数学元年
编辑：圆周π小姐
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