最有趣数学：毕达哥拉斯树，勾股定理画出的一棵树

毕达哥拉斯树是什么?

虽说数学是十分枯燥的，但是科学家总能从中找到无限的乐趣，毕达哥拉斯树就是由古希腊数学家毕达哥拉斯，利用勾股定理所画出的一个无限重复图形，当重复的次数够多时，就会形成一个树的形状，所以也有人称之为“勾股树”。

直角三角形和它的三条边延伸出的三个正方形，都具备着一些神奇的特征，比如直角三角形的面积小于等于大正方形面积的1/4，大于等于小正方形的1/2，而且两个小正方形等于大正方形的面积，同一次的所有小正方形面积和等于最大的正方形面积。

毕达哥拉斯树的简单画法

众所周知勾股定理就是直角三角形的两个直角边的平方和，等于斜边的平方，毕达哥拉斯利用这一点，在初始的大正方形上，做出了两个全等的小正方形，在以此类推，无限重复的做出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”。

由于三个正方形的内部形成了一个等腰直角三角形，所以通过勾股定理可得，小正方形的边长是大正方形的√2/2，在通过对小正方形重复上述过程，无限重复下去。如果假设其中的大正方形边长为1，在增加到第n 次时，会增加2n个小正方形，而每个小正方形的边长就是√2/2，则每一次增加的面积就是2n×(½√2)=1。

毕达哥拉斯树是无限的吗?

理论上来看，毕达哥拉斯树是可以无限重复的，因为将上诉的公式中的n设为无限次后，毕达哥拉斯树的面积就会趋于无限大。勾股树的面积也会更加茂密，但是在现实中并非如此。

因为当n大于5时，所有产生的小正方体互相重叠，所以毕达哥拉斯树的面积其实是有限的。因此毕达哥拉斯树其实只能生长在一个6×4的方格中里，当然具体的值不太容易求出。

毕达哥拉斯树的变种

最初的毕达哥拉斯树中的大正方形和小正方形夹角是不等的，所以有一种毕达哥拉斯树的变种就是改变夹角，当最开始的大正方形和小正方形之间的夹角变为60度时，中间的三角形就会变成等边三角形，这样每一个正方形的边长都是相等的。

但是这种变种也和正常的毕达哥拉斯树一样，是有限的，达到第四步的时候就会发生重叠，最后就会形成一个大六边形，里面全是边长相等的正方形。

结语：数学中还有不少有趣的现象，除了毕达哥拉斯树，还有结果永远是123的123黑洞，以及世界上最神奇的数字142857，都是数学上的智慧结晶。